Исследование площади прямоугольника данного периметра. Выявление зависимости между изменением длины одной из сторон прямоугольника и площадью при заданном периметре прямоугольника.
Просмотр содержимого документа
«Исследование площади прямоугольника данного периметра»
Исследование площади прямоугольника данного периметра
Автор: Косова Татьяна Анатольевна
Учитель математики МБОУ г.Шахты Ростовской области «Гимназия имени А.С.Пушкина»
Данная методическая разработка представляет собой описание опыта её автора, связанного с применением метода исследовательской работы с учащимися на уроках математики и во время внеклассных занятий по предмету.
Автором является Косова Татьяна Анатольевна учитель математики МБОУ г.Шахты Ростовской области «Гимназия имени А.С. Пушкина».
Выявить зависимость между изменением длины одной из сторон прямоугольника и площадью при заданном периметре прямоугольника.
С изменением длины одной из сторон прямоугольника при заданном периметре изменится и площадь этого прямоугольника.
Как связаны периметры и площади прямоугольников?
Какой прямоугольник имеет наибольшую площадь при заданном периметре?
Что нужно выяснить:
Периметр – сумма длин всех сторон многоугольника.
Площадь фигуры – величина, показывающая сколько места занимает фигура на плоскости
Если у одной фигуры больше периметр, чем у второй, то её площадь больше, меньше или по-разному?
Сначала мы рассмотрим прямоугольники.
Заметили, если периметр одного прямоугольника больше, то и его площадь больше чем у других.
Но если периметры равны, то площади могут быть различны.
От чего зависят площади прямоугольников, если их периметры равны?
Какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь?
Решение этой задачи было известно ещё математикам Древней Греции. Оно изложено в книге Евклида.
Периметр прямоугольника равен 24см, а его основание х (см). Задайте формулой зависимость площади S ( ) прямоугольника от х.
х (см) – основание прямоугольника
При каком значении х у вас получится прямоугольник наибольшей площади? Каково наибольшее из полученных значений S?
- Выберите сами два каких-либо значения х и вычислите соответствующие значения S. Удалось ли вам получить значение S, большее, чем найденное ранее?
- Какую гипотезу (гипотеза – научное предположение) можно высказать на основании проведённого исследования о форме прямоугольника наибольшей площади, имеющего данный периметр?
1. Если периметры прямоугольников равны, то площади могут быть различны.
2. Из всех прямоугольников с равными периметрами наибольшую площадь имеет квадрат.
Используемые источники: 1. К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В. Дорофеев. «Алгебра 7 класс».
Сравним соотношение "периметр-площадь" для нефрактальных (табл. 1) и фрактальных геометрических объектов.
1. Нефрактальные объекты.
Таблица 1. Соотношение "периметр – площадь" в эвклидовой геометрии
2. Фрактальные объекты.
По аналогии с нефрактальными объектами запишем соотношение "периметр-площадь" в виде
Здесь P – периметр; A – площадь; R(д) – параметр, зависящий от масштаба измерения (размера квадратной ячейки); D – фрактальная размерность "береговой" линии (1
Угловой коэффициент прямой, представленной на рис. 15, равен 2/D.
Рис. 3.15. Зависимость "площадь – периметр"
Анализ выражения (3) показывает, что величиной
зависящей от масштаба измерения д, можно пренебречь, так как при достаточно большом масштабе измерения "остров" становится нефрактальным объектом. Действительно, при D=DE=1 и масштабе, при котором с=1, имеем:
Из выражения (4) найдем фрактальную размерность "береговой" линии
График (рис. 15), построенный в двойных логарифмических координатах, отражает условие самоподобия и позволяет найти фрактальную размерность.
Процедура определения фрактальной размерности заключается в покрытии фрактального объекта ? "острова" – квадратной сеткой с размером ячейки д.
В этом случае периметр и площадь фигуры можно определить по формулам
где – число заполненных "береговой" линией ячеек; – число ячеек, покрывающих площадь "острова".
Таким образом, после подсчета и , по формулам (5) и (4) вычисляется фрактальная размерность D.
Для определения фрактальной размерности поверхности используем подход, предложенный Б. Мандельбротом
Соотношение периметр-площадь используют, чтобы характеризовать множество фрактальных объектов, используемых в широком диапазоне научных и технических проблем.
В частности, это соотношение эффективно используется в работах, в которых дается характеристика поверхностей излома стали и методика для определения конкретных поверхностей изломов.
Применительно к инженерным поверхностям подобное соотношение используется редко. В основном при определении фрактальной размерности поверхности применяют метод покрытия. На рис. 16 представлены модели фрактальных поверхностей при разных значениях фрактальной размерности.
Для определения фрактальной размерности поверхности рассмотрим контакт фрактальной поверхности с гладкой.
В качестве примера возьмем сечение поверхности плоскостью, параллельной срединной плоскости. На рис. 17 представлено такое сечение фрактальной поверхности с DS = 2,6.
Рис. 16. Модели фрактальных поверхностей
Рис. 17. Сечение фрактальной поверхности
Считается, что все "острова" на рис. 17 самоподобны. Тогда для анализа соотношения периметр-площадь выделим характерный "остров" (рис. 18).
Рис. 18. Изображение "острова"
На рис. 19 представлена процедура определения фрактальной размерности клеточным методом.
Рис. 19. К оценке фрактальной размерности: покрытие фрактального объекта сеткой с квадратными ячейками (Paul S. Addison)
На рис. 20 представлен график зависимости "площадь-периметр" в двойных логарифмических координатах, построенный на основании рис. 19.
При этом считаем, что число квадратов пропорционально соответствующим параметрам: площади и периметра
Зависимость числа клеток, покрывающих площадь "острова" NA, от числа клеток, в которых попала "береговая" линия острова NP , построенная в логарифмических координатах при разных размерах стороны квадратной ячейки, оценивается в данном примере уравнением регрессии
Рис. 20. Зависимости "площадь-периметр"
Фрактальная размерность определяется выражением
При исследовании контакта двух фрактальных поверхностей, имеющих свои фрактальные размерности, привлекательным моментом является замена двух фрактальных поверхностей на контакт гладкой поверхности с приведенной фрактальной.
С этой целью используем ранее рассмотренную процедуру. Смоделируем контакт двух поверхностей и определим пятна касания при некотором сближении.
На рис. 21 показана картина контакта двух поверхностей с выделенным для исследования "островом".
Рис. 21. Контакт фрактальных поверхностей
Можно ли найти площадь из периметра?
Замечание для любознательных. В случае с прямоугольником, у которого задан периметр, максимальную площадь будет иметь квадрат.
Задача 1. Найти стороны прямоугольника из площади
Задача 2. Найти стороны прямоугольника из периметра
Периметр прямоугольника 26 см, а сумма площадей квадратов, построенных на двух его смежных сторонах, равна 89 кв. см. Найдите стороны прямоугольника.
Решение.
Обозначим стороны прямоугольника как x и y.
Тогда периметр прямоугольника равен:
2(x+y)=26
Сумма площадей квадратов построенных на каждой из его сторон (квадратов, соответственно, два и это квадраты ширины и высоты, поскольку стороны смежные) будет равна
x 2 +y 2 =89
Решаем полученную систему уравнений. Из первого уравнения выводим, что
x+y=13
y=13-y
Теперь выполняем подстановку во второе уравнение, заменяя x его эквивалентом.
(13-y) 2 +y 2 =89
169-26y+y 2 +y 2 -89=0
2y 2 -26y+80=0
Решаем полученное квадратное уравнение.
D=676-640=36
x1=5
x2=8
Теперь примем во внимание, что исходя из того, что x+y=13 (см. выше) при x=5, то y=8 и наоборот, если x=8, то y=5
Ответ: 5 и 8 см
Задача 3. Найти площадь прямоугольника из пропорции его сторон
Найти площадь прямоугольника если его периметр равен 26 см а стороны пропорциональны как 2 к 3.
Решение.
Обозначим стороны прямоугольника через коэффициент пропорциональности x.
Откуда длина одной стороны будет равна 2x, другой – 3х.
Тогда:
2(2x+3x)=26
2x+3x=13
5x=13
x=13/5
Теперь, исходя из полученных данных, определим площадь прямоугольника:
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40,56 см 2
Задача 4. Изменение длины сторон при сохранении площади прямоугольника
Длина прямоугольника увеличена на 25%. На сколько процентов надо уменьшить ширину, чтобы его площадь не изменилась?
Решение.
Площадь прямоугольника равна
S = ab
В нашем случае один из множителей увеличился на 25%, что означает a2 = 1,25a . Таким образом, новая площадь прямоугольника должна быть равна
S2 = 1,25ab
Таким образом, для того, чтобы вернуть площадь прямоугольника к начальному значению, то
S2 = S / 1.25
S2 = 1,25ab / 1.25
поскольку новый размер а изменять нельзя, то
S2 = (1,25a) b / 1.25
1 / 1,25 = 0,8
Таким образом, величину второй стороны нужно уменьшить на ( 1 – 0,8 ) * 100% = 20%
Ответ: ширину нужно уменьшить на 20%.
